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Mit diesen einfachen Schritten beherrschst du das Bruchrechnen

Vor allem in heutiger Zeit der Smartphones, Taschenrechner und Computer fällt den Schülern das Bruchrechnen immer schwerer. Allerdings ist es wichtig, korrekt und schnell per Hand zu rechnen. Das spart nämlich in der Prüfung entscheidende Zeit ein. Außerdem hält es den Kopf fit und macht eine Menge Spaß. In diesem Beitrag zeigen wir dir, wie du zügig die wichtigsten Rechenoperationen meisterst und zum Bruchrechner wirst.

Brüche gehören zu der Menge der rationalen Zahlen. Das sind alle Elemente, die sich als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellen lassen. Die erste Zahl vor der Division heißt Dividend. Die zweite hat den Namen Divisor. Letztere sollte von 0 verschieden sein. Durch diese Ziffer zu teilen ist unzulässig, weil es kein gültiges Ergebnis ergibt. Statt den Doppelpunkten schreiben wir das Teilen ebenfalls als Bruch. Der Dividend steht in diesem Fall im Zähler (über dem Bruchstrich); der Divisor steht unter dem Bruchstrich im Nenner. Beispielsweise schreiben wir statt 5:7 den Bruch 5/7 (gesprochen: fünf siebtel).

Brüche kürzen und Brüche erweitern

Die erste und wichtigste Fertigkeit betrifft das Kürzen und Erweitern. Es ist die Grundlage für alle weiteren Rechenoperationen mit Brüchen.

Kürzen

Wichtig ist hier das Konzept des gemeinsamen Teilers. Eine Zahl ist ein gemeinsamer Teiler zweier Zahlen, falls Sie diese beiden Zahlen teilt. Beispielsweise ist 4 ein gemeinsamer Teiler von 16 und 20, weil 16:4 = 4 und 20:4 =5. Das Ergebnis ist jeweils eine ganze Zahl. In diesem Fall können wir den Bruch 16/20 auch kürzen: Wir teilen sowohl Zähler als auch Nenner durch die gleiche Zahl, nämlich 4: 16/20 = (16:4)/(20:4) = 4/5. Der resultierende Bruch lässt sich nicht mehr weiter kürzen, weil 4 und 5 keinen gemeinsamen Teiler mehr haben. Es gibt aber auch Fälle, wo wir mehrmals hintereinander kürzen können.

Erweitern

Genau den umgekehrten Prozess können wir ebenfalls mit Brüchen machen. Statt den Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl zu teilen, können wir diesen mit derselben Zahl erweitern. Wir machen das, indem wir beide Bruchteile mit der gleichen Zahl multiplizieren. Nimm den Bruch 3/7. Wir können diese mit einer beliebigen Zahl erweitern, sagen wir 5. Das ergibt den Wert (3*5)/(7*5) = 15/35. Das Ergebnis ändert sich nicht; einzig die Ziffern über und unter dem Bruchstrich sind verschieden.

Brüche vergleichen

Mithilfe der oben gelernten Skills ist es nun machbar, Brüche zu vergleichen.

  1. Erweitere beide Zahlen auf den gemeinsamen Nenner
  2. Jetzt brauchst du nur noch die Zähler miteinander zu vergleichen, weil die Nenner gleich sind. Derjenige Bruch mit dem größeren Zähler ist dann die größere Zahl.

Beispiel

Wir haben zwei Brüche, 1/3und 7/20. Welche dieser beiden Brüche ist größer?
1. Auf gemeinsamen Nenner erweitern: In diesem Fall bietet es sich an, auf 60 zu erweitern:
1/3=(1⋅20)/(3⋅20)=20/60und 7/20=(7⋅3)/(20⋅3)=21/60.
2. Zähler vergleichen: Wir sehen, dass 20 kleiner ist als 21. Also folgern wir: 1/3=20/60<21/60=7/20.

Brüche addieren und Brüche subtrahieren

Mit dieser folgenden einfachen Anleitung kannst du beliebige Brüche miteinander addieren und subtrahieren:

  1. Erweitere beide Zahlen auf den gemeinsamen Nenner.
  2. Addiere oder Subtrahiere die Zähler miteinander. Der Nenner bleibt unverändert.
  3. Kürze den Bruch soweit wie möglich.

Beispiel

Angenommen, wir möchten 1/2 + 2/3 rechnen. Wir können nach dem oben beschriebenen Vorgehen diese Aufgabe lösen:
1. Erweitern auf gemeinsamen Nenner 6:
1/2=(1⋅3)/(2⋅3)=3/6 2/3=(2⋅2)/(3⋅2)=4/6

2. Zähler addieren, Nenner bleibt gleich:
3/6+4/6=7/6
3. Kürzen, falls möglich: In diesem Fall können wir diesen Bruch nicht mehr weiter kürzen.

Brüche multiplizieren und Brüche dividieren

Mit dieser folgenden einfachen Anleitung kannst du beliebige Brüche miteinander multiplizieren und dividieren:

  1. Nur bei Division: Bilde den Kehrbruch des Divisors und mache aus der Division eine Multiplikation.
  2. Rechne Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.
  3. Kürze das Ergebnis, falls möglich.

Beispiel

Betrachte die folgende Rechenaufgabe: 7/9:1/3.
Nach den obigen Schritten können wir diese Aufgabe lösen:

1. Bilde den Kehrbruch: 7/9:1/3=7/9⋅3/1. Beachte, wie wir hier sowohl aus der Division eine Multiplikation machen, als auch den Kehrbruch des Divisors.
2. Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner: 7/9⋅3/1=21/9.
3. Kürzen, falls möglich: 21/9=7/3.

Hast du Schwierigkeiten beim Bruchrechnen?

Für weitere Aufgaben empfehlen wir dir dieses Buch. Wir helfen dir auch gerne. Bist du noch unentschlossen? Gerne kannst du mit uns Kontakt aufnehmen.

Weitere nützliche Beiträge

Brüche in Dezimalzahlen, Gemischter Bruch, Brüche und Prozente

Stand: 07. Oktober 2021

Gemischten Bruch umwandeln, Brüche und Prozent, Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

In unserem ersten Beitrag am 7. Oktober 2021 schrieben wir über die Bruchrechnen Regeln. Wir erklärten die wesentlichen Grundrechenarten und sind nun in der Lage, auf den heutigen Themen aufzubauen.

Gemischte Brüche

Es handelt sich um eine Darstellung der Zahlen, welche sowohl aus ganzen Zahlen, als auch aus Bruchzahlen besteht. Sie ist nützlich, wenn der Zähler größer als der Nenner ist. Mit ihnen können wir einfacher in eine Dezimalzahl umwandeln. Aber dazu später mehr.

Beispiele für gemischte Brüche

Angenommen, wir haben den Bruch 7/5. Die Zahl über dem Bruchstrich, hier 7, ist größer als die Zahl 5 darunter. Wie sieht dann die Schreibweise als gemischter Bruch aus? Wir wissen, dass wir 7/5 schreiben können als Summe aus 2/5 und 5/5. Weiterhin ist bekannt, dass 5/5 = 5:5 = 1. Also können wir fortsetzen:
7/5 = 1 + 2/5= 1 2/5.
In so einem Fall ist es üblich, das Plus-Zeichen auszulassen. Das letzte Ergebnis ist der gemischte Bruch.

Gemischten Bruch umwandeln

Im Allgemeinen können wir gemischte Brüche mit wenigen Schritten umwandeln:

    1. Wie oft passt der Nenner in den Zähler?
    2. Schreibe das Ergebnis vor den Bruch. Der Rest bei der Division aus Zähler und Nenner ergibt den neuen Zähler. Der Nenner bleibt unverändert.

In Gemischten Bruch umwandeln

Hier können wir mit der umgekehrten Strategie verfahren:

      1. Multipliziere die ganze Zahl mit dem Nenner.
      2. Addiere das Ergebnis zum Zähler. Das Resultat ist der neue Zähler des Bruches. Der Nenner bleibt wieder gleich.

Brüche und Prozente

Oft ist es wichtig, zwischen Brüchen und Prozenten umrechnen zu können. Dafür ist ein wenig Vorwissen zum Thema Erweitern und Kürzen nötig.

Brüche in Prozent umwandeln

Die Idee ist hier, auf 100 im Nenner zu erweitern. Im Anschluss brauchen wir nur noch den Zähler abzulesen. Das ist unser Prozentwert. Zum Beispiel haben wir den Bruch 4/5. Wir können problemlos mit 20 erweitern. Es gilt in diesem Fall 4/5= (4*20)/(5*20) = 80/100. Das Resultat ist also 80 %.

Es kann passieren, dass wir die Bruchrechnung nicht auf 100 erweitern können. Für den Bruch 1/200 beispielsweise können wir entweder mit 2 kürzen. Das Ergebnis lautet dann 0,5/100, was 0,5 % entspricht. Oder wir erweitern auf die nächsthöhere Zehnerpotenz und rechnen damit weiter.

Prozente in Brüche umwandeln

Auch hier können wir umgekehrt zu der obigen Methodik vorgehen. Betrachte beispielsweise 75 %. Wir schreiben als Bruch, indem wir die Zahl durch 100 teilen: 75 % = 75/100. Nun brauchen wir nur noch so weit wie möglich zu kürzen. Sowohl 75 als auch 100 haben den gemeinsamen Teiler 25. Also kürzen wir mit diesem Wert. Das Endergebnis lautet also 3/4, was nicht weiter kürzbar ist.

Falls bei Division mit 100 kein Bruch entsteht, ist entsprechend zu kürzen oder zu erweitern, bis eine Ganze Zahl im Zähler steht.

Brüche und Dezimalzahlen

Eine weitere wichtige Umformungstechnik betrifft Brüche und Dezimalzahlen.

Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Es gibt zwei wesentliche Möglichkeiten, wie wir das meistern können: Entweder rechnen wir den Bruch durch schriftliches Dividieren aus. Oder wir erweitern den Nenner zu einer hinreichend hohen Zehnerpotenz. Im Folgenden möchten wir dir den letzteren Weg zeigen.

Betrachte den Wert 5/8. Wir können hier weder den Nenner auf 10 oder auf 100 bringen. Die nächste Zehner-Potenz, auf die wir erweitern können, ist 1000. In diesem Fall ist der Faktor 125. Es gilt also 5/8 = (5*125)/(8*125) = 625/1000. Jetzt haben wir eine 10er-Zahl im Nenner. Da die Zahl über dem Bruchstrich dreistellig und die darunterliegende Zahl vierstellig ist, kommt eine 0 vor das Komma. Die Nachkomma-Stellen füllen wir jetzt mit dem Zähler auf. Also lautet das Resultat 0,625.

Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Um das zu tun, brauchen wir lediglich mit einer derart hohen 10er – Potenz zu erweitern, dass der Zähler ganzzahlig ist. Betrachte die Dezimalzahl 1,234. Indem wir mit 1000 erweitern, wird der Zähler ganzzahlig. Also haben wir:
1,234 = (1,234*1000)/1000 = 1234/1000.
Im nächsten Schritt können wir noch mit 2 kürzen. Das Endergebnis lautet 617/500.

Gemischte Brüche in Dezimalzahl und umgekehrt

Mit dem vorhin erläuterten Schritten sind wir zu diesen Umwandlungen ohne Probleme in der Lage. Um gemischte Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, wandeln wir sie zuerst in gewöhnliche Brüche um. Anschließend transformieren wir diese in Dezimalzahlen. Siehe dazu die oben erläuterten notwendigen Schritte. Umgekehrt genauso: Dezimalzahlen rechnen wir in Brüche um. Falls notwendig, so überführen wir weiter in einen gemischten Bruch.

Willst auch du Brüche rechnen können?

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Stand: 14. Oktober 2021

Lineare Gleichungen lösen und quadratische Gleichungen lösen

Eine wichtige Fähigkeit ist das Lösen linearer und quadratischer Gleichungen. Im folgenden Beitrag möchten wir dir das Vorgehen näher bringen. Sie ist nützlich sowohl bei der Lernstandserhebung als auch beim Abitur. Darauf aufbauende Anwendungen sind Schnittpunkte von Geraden, Lineare Gleichungssysteme lösen mittels Gauss Verfahren und das Aufstellen von Geraden und Ebenengleichungen.

Lineare Gleichungen

Es handelt sich um Gleichungen, welche nur aus linearen Termen bestehen. Es sind sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite des Gleichheits-Zeichens entweder Zahlen oder Variablen zu finden. Diese Variablen haben keinen Exponenten.

Lineare Gleichungen lösen

Nachfolgend bieten wir dir ein einfaches und direktes Verfahren an, mit dem du Gleichungen lösen kannst. Es gliedert sich in mehrere Schritte:

  1. Löse sämtliche Klammern auf, falls Sie vorhanden sind.
  2. Bringe alle x-Terme auf die linke Seite der Gleichung. Die Zahlen kommen auf die rechte Seite.
  3. Fasse beide Seiten zusammen und teile sie durch den Vorfaktor vor x. Das ergibt die gesuchte Lösung.
  4. Du kannst noch die Probe machen. Setze das Ergebnis in die ursprüngliche Gleichung ein. Falls die Gleichung korrekt ist, hast du die Lösung gefunden. Falls nicht, so hast du dich irgendwo verrechnet. In diesem Fall solltest du nochmal deine Rechnung überprüfen und korrigieren.

Es kann passieren, dass wir entweder keine Lösung für die Variable bekommen, oder aber jeder Wert für x passt. Im ersten Fall ist die Gleichung nicht lösbar. Wir erhalten nach Umformungen ein falsches Ergebnis. Letzteres tritt ein, wenn wir stattdessen eine korrekte Gleichung ohne Variable erhalten. Nutze auch den Lineare Gleichung Rechner für das Lösen und Vergleichen solcher Gleichungen.

Beispiel Aufgabe

Betrachte beispielsweise die Gleichung 3x + 9 = -15(x + 3).  Wir können diese Gleichung mit folgenden Schritten lösen:

    1. Klammern auflösen: 3x + 9 = -15x – 45
    2. Gleichung ordnen: 3x + 15x = – 45 – 9
    3. Zusammenfassen und teilen: 18x = -54 |:18   x = -3
    4. Probe: 3 (-3) + 9 = -15(-3 + 3) = 0.  Die Lösung x = -3 ist demnach korrekt.

Für die Gleichung x + 1 = x +2 gibt es offensichtlich kein Ergebnis. Durch einfaches Umformen können wir auf beiden Seiten die Variable eliminieren. Es bleibt 1 = 2 übrig, was offensichtlich falsch ist.

Hingegen für die Gleichung 2x + 2 = 2(x + 1) ist jedes x zulässig. Nach Auflösen der Klammern erhalten wir sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite dasselbe Ergebnis. Kürzen mit x liefert 2 = 2, was eine wahre Aussage ist.

Quadratische Gleichungen

Statt linearer Gleichungen gibt es auch sogenannte quadratische Gleichungen. Es handelt sich um Gleichungen, bei denen die Variable zusätzlich noch in quadratischer Form auftaucht. Ein Beispiel dafür ist x² + 2x + 1 = 0. Um  quadratische Gleichungen lösen zu können, gibt es 2 Lösungsformeln, die sich etablierten: Die PQ Formel und die abc Formel.

PQ Formel

Um die PQ Formel anwenden zu können sind folgende Schritte bei einer quadratischen Gleichung zu berücksichtigen:

        1. Eine Seite der Gleichung soll Null sein. Bringe also alle Terme auf eine Seite der Gleichung durch Umformungen. Fasse dann die passenden Terme zusammen.
        2. Kürze durch den Vorfaktor vor dem x². Die resultierende Gleichung nimmt die Form x² + px + q = 0 an.
        3. Die Lösungsformel lautet: x1 = -p/2 – Wurzel((p/2)² – q) und x2 = -p/2 + Wurzel((p/2)² – q)

Es gibt 3 mögliche Situationen, die bei der Anwendung der PQ Formel auftreten können. Es hängt davon ab, was das Ergebnis des Terms in der Wurzel ist. Wir wissen: Die Wurzel ist nur für positive Zahlen und 0 definiert.

        1. (p/2)² – q < 0: In diesem Fall ist die Wurzel negativ. Also hat die quadratische Gleichung in diesem Fall keine Lösung.
        2. (p/2)² – q = 0: Hier ist die Wurzel 0. Die beiden Resultate x1 und x2 sind in dem Fall gleich und es gibt insgesamt nur eine Lösung, die die Gleichung löst.
        3. (p/2)² – q > 0: In diesem Fall gibt es zwei Lösungen der quadratischen Gleichung.

Wichtig ist zu erwähnen, dass eine quadratische Gleichung nicht mehr als 2 Lösungen haben kann. Nutze auch den PQ Formel Rechner, um die quadratischen Gleichungen schnell zu lösen.

abc Formel

Es handelt sich um eine Formel, welche sehr ähnlich ist zu der pq Formel, mit kleinen Unterschieden. Der erste Schritt ist identisch zu oben. Nun brauchen wir  nicht mehr mit dem Vorfaktor zu kürzen. Wir erhalten eine Gleichung der Form ax² + bx + c = 0. Die Lösungsformel lautet in diesem Fall x1 = (-b – Wurzel(b² – 4c):(2a) und x2 = (-b + Wurzel(b – 4c)):(2a). Du kannst zur Kontrolle oder zur Hilfenahme den abc Formel Rechner benutzen.

PQ Formel Aufgaben

Schau dir die Gleichung x² + 2x + 2 = 2x² +4x + 1 an. Mit dem oben beschriebenen Verfahren können wir diese schnell lösen:

        1. Gleichung auf einer Seite 0: Wir formen um und erhalten x² + 2x + 1 = 0
        2. Vorfaktor vor dem x² eliminieren: Hier gibt es nichts weiter zu tun, weil der Vorfaktor bereits weg ist.
        3. Lösungsformel anwenden mit p = 2 und q = 1:  x1 = -1 – 0 = -1,    x2 = -1 + 0 = -1

Es gibt in diesem Fall genau ein Ergebnis, nämlich x = -1.

Willst auch du Gleichungen lösen können?

Für weitere Aufgaben empfehlen wir dir dieses Buch. Wir helfen dir auch gerne. Bist du noch unentschlossen? Gerne kannst du mit uns Kontakt aufnehmen.

Stand: 22. Oktober 2021